Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 55. Площадь проекции многоугольника.

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть /\ АВС проектируется на плоскость р . Рассмотрим два случая:
а) одна из сторон /\ АВС параллельна плоскости р ;
б) ни одна из сторон /\ АВС не параллельна р .

Рассмотрим первый случай : пусть [АВ] || р .

Проведем через (АВ) плоскость р 1 || р и спроектируем ортогонально /\ АВС на р 1 и на р (рис. 165); получим /\ АВС 1 и /\ А"В"С" .
По свойству проекции имеем /\ АВС 1 /\ А"В"С" , и поэтому

S /\ ABC1 = S /\ A"B"C"

Проведем _|_ и отрезок D 1 C 1 . Тогда _|_ , a = φ есть величина угла между плоскостью /\ АВС и плоскостью р 1 . Поэтому

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

и, следовательно, S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая . Проведем плоскость р 1 || р через ту вершину /\ АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).
Спроектируем /\ АВС на плоскости р 1 и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно /\ АВ 1 С 1 и /\ А"В"С".

Пусть (ВС) p 1 = D. Тогда

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1 - S /\ ADB1 = (S /\ ADC - S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, /\ АВС есть проекция /\ АDС, поэтому

ГЕОМЕТРИЯ
Планы-конспекты уроков для 10 классов

Урок 56

Тема. Площадь ортогональной проекции многоугольника

Цель урока: изучение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника, формирование умений учащихся применять изученную теорему к решению задач.

Оборудование: стереометрический набор, модель куба.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Два ученика воспроизводят решения задач № 42, 45 на доске.

2. Фронтальное опрашивание.

1) Дайте определение угла между двумя плоскостями, которые пересекаются.

2) Чему равен угол между:

а) параллельными плоскостями;

б) перпендикулярными плоскостями?

3) В каких пределах может изменяться угол между двумя плоскостями?

4) верно Ли, что плоскость, которая пересекает параллельные плоскости, пересекает их под одинаковыми углами?

5) верно Ли, что плоскость, которая пересекает перпендикулярные плоскости, пересекает их под одинаковыми углами?

3. Проверка правильности решения задач № 42, 45, которое воссоздали ученики на доске.

II. Восприятие и осознание нового материала

Задание ученикам

1. Докажите, что площадь проекции треугольника, у которого одна сторона находится в плоскости проекции, равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

2. Докажите теорему для случая, когда решеточным есть треугольник, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций.

3. Докажите теорему для случая, когда решеточным есть треугольник, у которого ни одна из сторон не параллельна плоскости проекций.

4. Докажите теорему для любого многоугольника.

Решение задач

1. Найти площадь ортогональной проекции многоугольника, площадь которого равна 50 см2, а угол между плоскостью многоугольника и его проекции - 60°.

2. Найти площадь многоугольника, если площадь ортогональной проекции этого многоугольника равна 50 см2, а угол между плоскостью многоугольника и его проекцией равен 45°.

3. Площадь многоугольника равна 64 см2, а площадь ортогональной проекции - 32 см2. Найдите угол между плоскостями многоугольника и его проекции.

4. Или может площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади этого многоугольника?

5. Ребро куба равно а. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину основания под углом 30° к этой основы и пересекает все боковые ребра. (Ответ. )

6. Задача № 48 (1, 3) из учебника (с. 58).

7. Задача № 49 (2) из учебника (с. 58).

8. Стороны прямоугольника равны 20 и 25 см. Его проекция на плоскость подобна ему. Найти периметр проекции. (Ответ. 72 см или 90 см.)

III. Домашнее задание

§4, п. 34; контрольный вопрос № 17; задачи№ 48 (2), 49 (1) (с. 58).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Сформулируйте теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

2) может Ли площадь ортогональной проекции многоугольника быть большей площади многоугольника?

3) Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость α под углом 45° к плоскости треугольника и перпендикуляр CO до плоскости α. АС = 3 см, ВС = 4 см. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) угол между плоскостями АВС и α равен углу СМО, где точка Н - основание высоты СМ треугольника АВС;

б) СО = 2,4 см;

в) треугольник АОС является ортогональной проекцией треугольника АВС на плоскость α;

г) площадь треугольника АОВ равна 3 см2.

(Ответ. а) Правильное; б) неправильно; в) неправильное; г) правильное.)

В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но от качественного чертежа.
С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надо трехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.

Как это сделать?
Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование .

Возьмем объемное тело.
Выберем плоскость проекции .
Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.

Как строить проекции объемных тел?
Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют:

Проекцией отрезка будет отрезок.

Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.

Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.

Проекцией прямоугольника — параллелограмм.

Вот как выглядит проекция куба на плоскость:

Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции

Можно сделать по-другому:

Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки . Это один из принципов параллельного проецирования.

Рисуем проекции пирамиды,

цилиндра:

Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования. Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании . С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.

Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника

Если - проекция плоского n -угольника на плоскость, то, где - угол между плоскостями многоугольников и. Иными словами, площадь проекции плоского многоугольника равна произведению площади проецируемого многоугольника на косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью проецируемого многоугольника.

Доказательство. I этап. Проведём доказательство сначала для треугольника. Рассмотрим 5 случаев.

1 случай. лежат в плоскости проекции .

Пусть - проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае. Положим, что. Пусть - высота, тогда по теореме о трёх перпендикулярах мы можем заключить, что - высота (- проекция наклонной, - её основание и прямая проходит через основание наклонной, причём).

Рассмотрим. Он прямоугольный. По определению косинуса:

С другой стороны, так как и, тогда по определению - линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями плоскостей и с граничной прямой, а, следовательно, его мера является также и мерой угла между плоскостями проекции треугольника и самого треугольника, то есть.

Найдём отношение площади к:

Заметим, что формула остаётся верной даже когда. В этом случае

2 случай. Тольколежит в плоскости проекции и параллельна плоскости проекции .

Пусть - проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае.

Проведём через точку прямую. В нашем случае прямая пересекает плоскость проекции, значит, по лемме, и прямая пересекает плоскость проекции. Пусть это будет в точке Так как, то точки лежат в одной плоскости, а так как параллельна плоскости проекции, то по следствию из признака параллельности прямой и плоскости следует, что. Следовательно, - параллелограмм. Рассмотрим и. Они равны по трём сторонам (- общая, как противолежащие стороны параллелограмма). Заметим, что четырёхугольник - прямоугольник и равен (по катету и гипотенузе), следовательно, равен по трём сторонам. Поэтому и.

Для применим 1 случай: , т. е..

3 случай. Тольколежит в плоскости проекции и не параллельна плоскости проекции .

Пусть точка - точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Заметим, что и. По 1 случаю: и. Таким образом получаем, что

4 случай. Вершины не лежат в плоскости проекции . Рассмотрим перпендикуляры. Возьмём среди этих перпендикуляров наименьший. Пусть это будет перпендикуляр. Может оказаться, что, либо только, либо только. Тогда всё равно берём.

Отложим от точки на отрезке точку, так, чтобы и от точки на отрезке точку, так, чтобы. Такое построение возможно, так как - наименьший из перпендикуляров. Заметим, что является проекцией и, по построению. Докажем, что и равны.

Рассмотрим четырёхугольник. По условию - перпендикуляры к одной плоскости, следовательно, по теореме, поэтому. Так как по построению, тогда по признаку параллелограмма (по параллельным и равным противолежащим сторонам) мы можем заключить, что - параллелограмм. Значит, . Аналогично доказывается, что, . Следовательно, и равны по трём сторонам. Поэтому. Заметим, что и, как противолежащие стороны параллелограммов, следовательно, по признаку параллельности плоскостей, . Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применимы предыдущие случаи:.

5 случай. Плоскость проекции пересекает стороны . Рассмотрим прямые. Они перпендикулярны к плоскости проекции, поэтому по теореме они параллельны. На сонаправленных лучах с началами в точках соответственно отложим равные отрезки, таким образом, чтобы вершины лежали вне плоскости проекции. Заметим, что является проекцией и, по построению. Покажем, что равен.

Так как и, по построению, тогда. Следовательно, по признаку параллелограмма (по двум равным и параллельным сторонам), - параллелограмм. Аналогично доказывается, что и - параллелограммы. Но тогда, и (как противолежащие стороны), поэтому равен по трём сторонам. Значит, .

Кроме того, и, поэтому, по признаку параллельности плоскостей. Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применим 4 случай:.

II этап. Разобьем плоский многоугольник на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из вершины: Тогда по предыдущим случаям для треугольников: .

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим плоскость p и пересекающую её прямую . Пусть А - произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую , параллельную прямой . Пусть . Точка называется проекцией точки А на плоскость p при параллельном проектировании по заданной прямой . Плоскость p , на которую проектируются точки пространства называется плоскостью проекции.

p - плоскость проекции;

- прямая проектирования; ;

; ; ;

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования. Ортогональное проектирование - это такое параллельное проектирование, при котором прямая проектирования перпендикулярна плоскости проекции. Ортогональное проектирование широко применяется в техническом черчении, где фигура проектируется на три плоскости - горизонтальную и две вертикальные.

Определение : Ортогональной проекцией точки М на плоскость p называется основание М 1 перпендикуляра ММ 1 , опущенного из точки М на плоскость p .

Обозначение : , , .

Определение : Ортогональной проекцией фигуры F на плоскость p называется множество всех точек плоскости, являющихся ортогональными проекциями множества точек фигуры F на плоскость p .

Ортогональное проектирование, как частный случай параллельного проектирования, обладает теми же свойствами:

p - плоскость проекции;

- прямая проектирования; ;

1) ;

2) , .

1. Проекции параллельных прямых параллельны.

ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Теорема : Площадь проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

1 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, сторона которого АС лежит в плоскости проекции a (параллельна плоскости проекции a).

Дано :

Доказать :

Доказательство :

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. По теореме о трёх перпендикулярах ;

ВD – высота ; В 1 D – высота ;

5. – линейный угол двугранного угла ;

6. ; ; ; ;

2 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, ни одна из сторон которого не лежит в плоскости проекции a и не параллельна ей.

Дано :

Доказать :

Доказательство :

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1 этап);

5. ; ; ;

(1 этап);

Этап: Проектируемая фигура – произвольный многоугольник.

Доказательство :

Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Замечание : Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.

Упражнения :

1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – правильный треугольник со стороной а.

2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.

3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.

4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.

5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом .

6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами и . Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.

11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:

Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.

3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.

4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом к диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.

5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .

6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.

Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.

2. Доказать следствия из аксиом.

3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.

4. Доказать признак скрещивающихся прямых.

5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.

6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?

8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.

9. Дать определение угла между прямыми.

10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.

12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.

13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.

14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.

17. Дать определение расстояния от точки до прямой.

18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.

19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.

21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.

23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.

24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.

25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.